Derivada parcial: Suponha que f(r,s,…,y,z) seja uma função de n variáveis. A derivada parcial de f em relação a sua variável t e representada por ft e é definida como sendo a função obtida derivando-se f em relação a t e considerando-se as outras variáveis como constantes.

Notação: fx, fy, ∂f/∂fx, ∂f/∂y

À medida que damos um zoom em um ponto pertencente à uma superfície, que é o gráfico de uma função diferenciável de duas variáveis, a superfície parece mais e mais com um plano (seu plano tangente) e podemos aproximar a função, nas proximidades do ponto, por uma função linear de duas variáveis.

Derivada parcial de segunda ordem: fxx, fyx, fxy, fyy; ∂2f/∂x2 etc

Derivadas parciais mistas de segunda ordem: fyx = fxy

Teorema da igualdade das derivadas parciais mistas (Schwartz). Se fxy(a,b) e fyx(a,b) forem contínuas em (a,b), então fxy(a,b) = fyx(a,b)

Seja f: A R2 ->R, A aberto. Se for de classe C2 em A,
2f(x,y)/xy = 2f(x,y)/yx
para todo (x,y) A.

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Conjuntos Numéricos

I) Números Naturais

 N = { 0 , 1 , 2 , 3 , … }

II) Números Inteiros

 Z = { … , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, … }

Todo número natural é inteiro, isto é, N é um
subconjunto de Z
III) Números Racionais
 - São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de 0.
Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z
com b diferente de 0 }
Assim como exemplo podemos citar o –1/2 , 1 , 2,5 ,…
 -Números decimais exatos são racionais
 Pois  0,1 = 1/10
        2,3 = 23/10 …

 - Números decimais periódicos são racionais.

         0,1111… = 1/9
         0,3232 …= 32/99
         2,3333 …= 21/9
         0,2111 …= 19/90
 -Toda dízima periódica 0,9999 … 9 … é uma outra representação do número 1.

 
IV) Números Irracionais
 - São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0.
 -São compostos por dízimas infinitas não periódicas.
  Exs:
               

V) Números Reais

 - É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais.

   Resumindo:


         
 

  Intervalos :
 Sendo a e b dois números reais, com a < b, temos os seguintes subconjuntos de R chamados intervalos.
 Intervalo fechado nos extremos a e b:
  =
 Intervalo fechado em a e aberto em b:
 
 Intervalo aberto em a e fechado em b:
 
 Intervalo aberto em a e b:
 
 Temos também:
 

 

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Sistema de eqauações do 1º grau

Noções:

     A soma de dois números é 12 e a diferença entre eles é 4. Quais são estes números?
    Para a resolução de problemas como este que apresenta duas incógnitas desconhecidas, utilizamos um sistema de equações.
    Chamamos de x o primeiro número (o maior) e de y o segundo número.
Pelo enunciado:
     » soma de dois números é 12, ou seja:  x+y = 12 …I
     » a diferença entre eles é 4, isto é :     x-y = 4 …..II

     A solução de um sistema de equações com duas variáveis é um par ordenado (x,y) de números reais que satisfaz as duas equações ( I e II ).
     Verificando o par ordenado (8,4), notamos que satisfaz as duas equações:
     8+4=12 e 8-4=4 , logo a solução do sistema é (8,4)
     Vejamos agora os métodos para a resolução de sistema de equações:
Método da adição:

 
» basta eliminar uma das variáveis, através de termos opostos, recaindo numa equação do 1º grau com uma variável.

Ex: x+y=12
     x-y=4

     Notamos que as duas equações possuem termos opostos
(y e -y).

     Com isso, basta somar as duas equações:
     
     
         
           

     A seguir, basta substituir o valor encontrado para x em uma das equações.
        8+y=12                ou             8-y=4
           y=12-8                               -y=4-8
           y=4                                      y=4

     O par ordenado (x,y)=(8,4) é a solução do sistema.
Outro exemplo:
      … I
      .. II

     » Note que as equações não possuem coeficientes opostos, logo se somarmos membro a membro, não eliminaremos nenhuma variável.
     Para a resolução deste sistema, devemos escolher uma variável para ser eliminada.
     Para isso, multiplicamos a equação I por -2:

      … I
          … II
         0x + 0y = 6  …. III
     Observe que a equação III não possui solução, logo a solução do sistema seria vazio.

      S= { }
Método da substituição:
     » Consiste em eliminarmos uma das variáveis isolando seu valor numa das equações do sistema, para em seguida substitui-la na outra.
Ex: x+y=12 … I
      x-y=4 …. II

     Escolhemos uma das variáveis na primeira equação, para determinarmos o seu valor:
     x+y=12  »  x=12-y
     Substituímos na outra equação:

    (12-y) – y = 4
          12-2y = 4 
             -2y = -8
                y=4
     Substituindo o valor encontrado em uma das equações:

       x+4=12   »  x=12-4  »  x=8
     Logo a solução do sistema seria:
             S = {(8,4)}

Ex:
      … I
       … II

      Escolhemos a variável y da equação II:
       … II

      Substituindo na equação II :
      
      
      
         

      Substituindo o valor de x encontrado em II:
      
      Logo a solução do sistema é :
               S = {( 10,4 )}
Método da comparação:
» Consiste em comparmos as duas equações do sistema, após termos isolado a mesma variável (x ou y) nas duas equações:
      x+2y=2     »   x=2-2y
      x+y = 3     »   x=3-y

      Comparando as duas equações:
                2-2y=3-y
               -2y+y=3-2
                   -y = 1
                    y = -1
      Substituindo o valor de y encontrado:
           x = 2-2.(-1)  »  x=2+2=4
     Portando S= {(4,-1)}

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Equação do 2º grau

Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com .
Exemplos:

Equação a b c
x²+2x+1 1 2 1
5x-2x²-1 -2 5 -1


Classificação:

- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.
1º caso: b=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9=0  »  x²=9  »  x=  »  x=
2º caso: c=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9x=0 »  Basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0  »  x=0,9

3º caso: b=c=0
2x²=0  »  x=0

Resolução de equações do 2º grau:

  A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.
- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara.
   Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau?
   Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara:
   Multiplicamos os dois membros por 4a:

          4a²x²+4abx+4ac=0
          4a²x²+4abx=-4ac

   Somamos b² aos dois membros:

          4a²x²+4abx+b²=b²-4ac
   Fatoramos o lado esquedo e chamamos de (delta)
b²-4ac:

          (2ax+b)²=
          2ax+b=
           2ax=-b
   Logo:
              ou  

Fórmula de Bháskara:
 


 

   Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:

1) 3x²-7x+2=0
a=3, b=-7 e c=2
 = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25
Substituindo na fórmula:
=
 e  
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:
 


2) -x²+4x-4=0
a=-1, b=4 e c=-4
= 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0
Sustituindo na fórmual de Bháskara:
 »  x=2  
 

- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( )

3) 5x²-6x+5=0
a=5 b=-6 c=5
= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64
   Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real.
Logo: » vazio

Propriedades:
 
   Duas raízes reais e diferentes
   Duas raízes reais e iguais
   Nenhuma raiz real


Relações entre coeficientes e raízes
 

Vamos provar as relações descritas acima:
Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são:

  e   
A soma das raízes será:

   

Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:
O produto das raízes será:
  
        
Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:
 
Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.
Obtendo:
Substituindo por e :
Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:
 
x² – Sx + P = 0

Exemplos:
1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:
a) x² – 4x + 3=0
[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:

     
b) 2x² – 6x -8 =0
Sendo a=2, b=-6 e c=-8
  

c) 4-x² = 0
Sendo a=-1, b=0 e c=4:

  
Resolução de equações fracionárias do 2º grau:
   Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias.
Exemplos resolvidos:
a)  Onde , pois senão anularia o denominador
[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x
Então:  
Eliminando os denominadores, pois eles são iguais:
»
Aplicando a fórmula de Bháskara:
Logo, x = 2 e x` = 4.  »  S={2,-4}
b )    e
[Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2)
Então:
Eliminando os denominadores:
»  »    »  
* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador, logo a solução da equação será somente:
x=-1  » S={-1}
Resolução de equações literais do 2º grau:
   Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita.
 
Equação
a
b
c
x² – (m+n)x + p = 0
1
-(m+n)
p


Exemplo: Determine o valor da incógnita x.

1) x²-3ax+2a²=0
[Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara:
a=1, b=-3a, c=2a²

, Logo:
x = 2a  e  x = a  »  S={a,2a}

 Resolução de equações biquadradas
   Equacão biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é:
 
 onde  


Exemplo resolvido:

1)
Fazendo x² = y , temos  
Substituindo os valores na equação, temos:
y² – 5y + 4 = 0
Aplicando Bháskara:

Logo, y = 4  e y`= 1
Voltando a variável x:
Como y=x², temos:
x²=4  »      e    x²=1  »  
Então a solução será » S={-2,-1,1,2}
ou simplesmente
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Racionalização

Existem frações cujo denominador é irracional. Como:

  ,    ,  

Para facilitar os cálculos, é conveniente transformá-las em uma outra, equivalente, de denominador racional.
1º Caso:
- O denominador é da forma . Neste caso, basta multiplicar o numerador e o denominador por .
Ex:
     
2º caso:
- O denominador é da forma onde n>2. Neste caso, devemos multiplicar o numerador e o denominador por um fator, de modo a tornar no denominador, o expoente do radicando igual ao índice do radical.
Ex:   » Fator racionalizante=
      Logo:

3º Caso:

- O denominador possui uma destas formas:
 ,  ou  
Neste caso, basta multiplicar o numerador e o denominador pelo *conjugado de denominador. Assim, obteremos o produto pela diferença, que resulta na diferença de dois quadrados.
*Conjugado:
 
Expressão
Conjugado

Exs:

1)

2)

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Logarítmos

Antes de iniciarmos o estudo de logaritmos, é importante revermos alguns pequenos conceitos de exponeciais.
Sendo:  , dizemos que c é o expoente, b é a base e a é a potência.
Dependendo dos valores de a e b:
- poderá não haver valores de c que satisfaçam a igualdade
Exemplo:
- poderá haver um único valor de c que satisfaça a igualdade
Exemplo: (No caso, o único valor de c = 0)
- poderá haver infinitos números que satisfaça a igualdade
Exemplo:
Deduzimos assim que sendo b>0, e a>0, existe um único valor real c que satisfaça


 A partir disso, podemos definir o que é logaritmo, bem como iniciar o estudo de suas propriedades.
se, e somente se,
Onde b>0, e a>0
Não decore a definição de logaritmo, procure compreender. Para tanto, vamos ver alguns exemplos baseados em simples exercícios.
Ex.1) Transforme as seguintes potências em logaritmos e vice-versa.
a)
Resolução:
Notem que 3>0, e 9>0
b) 2³ = 8
Resolução:
c)
Resolução:
Notem que 10>0, e 100>0
Estejam sempre atendos a tais propriedades. Caso seja vestibulando, o exame tentará te “pegar” neste ponto, pois é comum os estudantes se esquecerem disso.
Muitos devem estar pensando… Mas que inutilidade? Afinal, para que servem os logaritmos?
O logaritmo foi desenvolvido para agilizar as contas de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Ele é fundamental, também, em outras matérias como por exemplo na Química para o cálculo do pH (potencial de hidrogênio). A análise, permite-nos saber se uma solução é ácida, básica ou neutra. Na física, utilizamos logaritmos em acústica para determinarmos a intensidade (decibel) de um som. Não entraremos nestes detalhes.
Uma curiosidade da Química:
Em uma solução de 1 litro, encontramos 0,01 mol de íons hidrogênio. Esta solução é ácida, básica ou neutra?
A concentração de íons hidrogênio é de 0,01 mol/l, ou seja, [H] =
Assim, concluímos que . Trata-se, portanto, de uma solução ácida, pois o pH<7.
Inseri este exemplo, só para terem uma noção de que as ciências são intimamentes ligadas. Conhecimentos de matemática são utilizados constantemente na física, na química, na biologia e em demais matérias.

Propriedades fundamentais de logaritmos:

1)
2)
3)
4)

Exemplos:
1)
2)
3)  
4)
Propriedades de logaritmos II
Para x>0, y>0, b>0 e , temos:

1)
2)
3)

Exemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Propriedade – Mudança de base
Sendo x>0, b>0, , c >0 e

Exemplos:
1)
2) Dado que , determine
Resolução:

Observação: Os logaritmos de base 10 são chamados de logaritmos decimais. Quando a base do logaritmo não é indicada, trata-se de um logaritmo decimal.

Para finalizarmos, vamos ver alguns exercícios resolvidos e uma questão da Universidade Estadual de Londrina – UEL, presente no nosso simulado.
Exercícios resolvidos:
Ex.R.1) Dados log2=0,3 e log3=0,4, calcule:
a) log6
Resolução:
b) log9
Resolução:
c) log5
Resolução:
d)
Resolução:

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Produto Notáveis

Antes de iniciarmos o estudo de produtos notáveis, vamos recordar a propriedade distributiva.
(a+b).(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b²
(a-b).(a-b) = a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b²
(a+b+c).(a+b+c)=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c²
 
Somando os termos semelhantes: a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
    
Notem que na propriedade distributiva: multiplicamos todos os termos (não se esquecendo das regras dos sinais) e somamos os termos semelhantes.
Afim de economizar tempo e não ter de multiplicar termo a termo, utilizamos os produtos notáveis.
Produtos Notáveis são aqueles produtos que são freqüentemente usados e para evitar a multiplicação de termo a termo, existem algumas fórmulas que convém serem memorizadas.
1) Soma pela diferença: quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.
        ( a + b ).( a – b ) = a² – b²
2) Quadrado da soma: quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
        ( a + b )² = a² + 2ab +b²
3) Quadrado da diferença: quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
       
( a – b )² = a² – 2ab + b²
Existem muitas outras outras fórmulas:
   
( a + b ) ³ =  a³ + 3 a ²b + 3ab² + b³
(a – b )³ =  a³ – 3 a²b + 3ab² – b³

Não freqüentemente usadas:
 
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