Derivada parcial: Suponha que f(r,s,…,y,z) seja uma função de n variáveis. A derivada parcial de f em relação a sua variável t e representada por ft e é definida como sendo a função obtida derivando-se f em relação a t e considerando-se as outras variáveis como constantes.

Notação: fx, fy, ∂f/∂fx, ∂f/∂y

À medida que damos um zoom em um ponto pertencente à uma superfície, que é o gráfico de uma função diferenciável de duas variáveis, a superfície parece mais e mais com um plano (seu plano tangente) e podemos aproximar a função, nas proximidades do ponto, por uma função linear de duas variáveis.

Derivada parcial de segunda ordem: fxx, fyx, fxy, fyy; ∂2f/∂x2 etc

Derivadas parciais mistas de segunda ordem: fyx = fxy

Teorema da igualdade das derivadas parciais mistas (Schwartz). Se fxy(a,b) e fyx(a,b) forem contínuas em (a,b), então fxy(a,b) = fyx(a,b)

Seja f: A R2 ->R, A aberto. Se for de classe C2 em A,
2f(x,y)/xy = 2f(x,y)/yx
para todo (x,y) A.

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Conjuntos Numéricos

I) Números Naturais

 N = { 0 , 1 , 2 , 3 , … }

II) Números Inteiros

 Z = { … , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, … }

Todo número natural é inteiro, isto é, N é um
subconjunto de Z
III) Números Racionais
 - São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de 0.
Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z
com b diferente de 0 }
Assim como exemplo podemos citar o –1/2 , 1 , 2,5 ,…
 -Números decimais exatos são racionais
 Pois  0,1 = 1/10
        2,3 = 23/10 …

 - Números decimais periódicos são racionais.

         0,1111… = 1/9
         0,3232 …= 32/99
         2,3333 …= 21/9
         0,2111 …= 19/90
 -Toda dízima periódica 0,9999 … 9 … é uma outra representação do número 1.

 
IV) Números Irracionais
 - São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0.
 -São compostos por dízimas infinitas não periódicas.
  Exs:
               

V) Números Reais

 - É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais.

   Resumindo:


         
 

  Intervalos :
 Sendo a e b dois números reais, com a < b, temos os seguintes subconjuntos de R chamados intervalos.
 Intervalo fechado nos extremos a e b:
  =
 Intervalo fechado em a e aberto em b:
 
 Intervalo aberto em a e fechado em b:
 
 Intervalo aberto em a e b:
 
 Temos também:
 

 

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Sistema de eqauações do 1º grau

Noções:

     A soma de dois números é 12 e a diferença entre eles é 4. Quais são estes números?
    Para a resolução de problemas como este que apresenta duas incógnitas desconhecidas, utilizamos um sistema de equações.
    Chamamos de x o primeiro número (o maior) e de y o segundo número.
Pelo enunciado:
     » soma de dois números é 12, ou seja:  x+y = 12 …I
     » a diferença entre eles é 4, isto é :     x-y = 4 …..II

     A solução de um sistema de equações com duas variáveis é um par ordenado (x,y) de números reais que satisfaz as duas equações ( I e II ).
     Verificando o par ordenado (8,4), notamos que satisfaz as duas equações:
     8+4=12 e 8-4=4 , logo a solução do sistema é (8,4)
     Vejamos agora os métodos para a resolução de sistema de equações:
Método da adição:

 
» basta eliminar uma das variáveis, através de termos opostos, recaindo numa equação do 1º grau com uma variável.

Ex: x+y=12
     x-y=4

     Notamos que as duas equações possuem termos opostos
(y e -y).

     Com isso, basta somar as duas equações:
     
     
         
           

     A seguir, basta substituir o valor encontrado para x em uma das equações.
        8+y=12                ou             8-y=4
           y=12-8                               -y=4-8
           y=4                                      y=4

     O par ordenado (x,y)=(8,4) é a solução do sistema.
Outro exemplo:
      … I
      .. II

     » Note que as equações não possuem coeficientes opostos, logo se somarmos membro a membro, não eliminaremos nenhuma variável.
     Para a resolução deste sistema, devemos escolher uma variável para ser eliminada.
     Para isso, multiplicamos a equação I por -2:

      … I
          … II
         0x + 0y = 6  …. III
     Observe que a equação III não possui solução, logo a solução do sistema seria vazio.

      S= { }
Método da substituição:
     » Consiste em eliminarmos uma das variáveis isolando seu valor numa das equações do sistema, para em seguida substitui-la na outra.
Ex: x+y=12 … I
      x-y=4 …. II

     Escolhemos uma das variáveis na primeira equação, para determinarmos o seu valor:
     x+y=12  »  x=12-y
     Substituímos na outra equação:

    (12-y) – y = 4
          12-2y = 4 
             -2y = -8
                y=4
     Substituindo o valor encontrado em uma das equações:

       x+4=12   »  x=12-4  »  x=8
     Logo a solução do sistema seria:
             S = {(8,4)}

Ex:
      … I
       … II

      Escolhemos a variável y da equação II:
       … II

      Substituindo na equação II :
      
      
      
         

      Substituindo o valor de x encontrado em II:
      
      Logo a solução do sistema é :
               S = {( 10,4 )}
Método da comparação:
» Consiste em comparmos as duas equações do sistema, após termos isolado a mesma variável (x ou y) nas duas equações:
      x+2y=2     »   x=2-2y
      x+y = 3     »   x=3-y

      Comparando as duas equações:
                2-2y=3-y
               -2y+y=3-2
                   -y = 1
                    y = -1
      Substituindo o valor de y encontrado:
           x = 2-2.(-1)  »  x=2+2=4
     Portando S= {(4,-1)}

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Equação do 2º grau

Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com .
Exemplos:

Equação a b c
x²+2x+1 1 2 1
5x-2x²-1 -2 5 -1


Classificação:

- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.
1º caso: b=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9=0  »  x²=9  »  x=  »  x=
2º caso: c=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9x=0 »  Basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0  »  x=0,9

3º caso: b=c=0
2x²=0  »  x=0

Resolução de equações do 2º grau:

  A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.
- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara.
   Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau?
   Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara:
   Multiplicamos os dois membros por 4a:

          4a²x²+4abx+4ac=0
          4a²x²+4abx=-4ac

   Somamos b² aos dois membros:

          4a²x²+4abx+b²=b²-4ac
   Fatoramos o lado esquedo e chamamos de (delta)
b²-4ac:

          (2ax+b)²=
          2ax+b=
           2ax=-b
   Logo:
              ou  

Fórmula de Bháskara:
 


 

   Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:

1) 3x²-7x+2=0
a=3, b=-7 e c=2
 = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25
Substituindo na fórmula:
=
 e  
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:
 


2) -x²+4x-4=0
a=-1, b=4 e c=-4
= 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0
Sustituindo na fórmual de Bháskara:
 »  x=2  
 

- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( )

3) 5x²-6x+5=0
a=5 b=-6 c=5
= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64
   Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real.
Logo: » vazio

Propriedades:
 
   Duas raízes reais e diferentes
   Duas raízes reais e iguais
   Nenhuma raiz real


Relações entre coeficientes e raízes
 

Vamos provar as relações descritas acima:
Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são:

  e   
A soma das raízes será:

   

Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:
O produto das raízes será:
  
        
Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:
 
Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.
Obtendo:
Substituindo por e :
Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:
 
x² – Sx + P = 0

Exemplos:
1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:
a) x² – 4x + 3=0
[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:

     
b) 2x² – 6x -8 =0
Sendo a=2, b=-6 e c=-8
  

c) 4-x² = 0
Sendo a=-1, b=0 e c=4:

  
Resolução de equações fracionárias do 2º grau:
   Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias.
Exemplos resolvidos:
a)  Onde , pois senão anularia o denominador
[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x
Então:  
Eliminando os denominadores, pois eles são iguais:
»
Aplicando a fórmula de Bháskara:
Logo, x = 2 e x` = 4.  »  S={2,-4}
b )    e
[Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2)
Então:
Eliminando os denominadores:
»  »    »  
* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador, logo a solução da equação será somente:
x=-1  » S={-1}
Resolução de equações literais do 2º grau:
   Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita.
 
Equação
a
b
c
x² – (m+n)x + p = 0
1
-(m+n)
p


Exemplo: Determine o valor da incógnita x.

1) x²-3ax+2a²=0
[Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara:
a=1, b=-3a, c=2a²

, Logo:
x = 2a  e  x = a  »  S={a,2a}

 Resolução de equações biquadradas
   Equacão biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é:
 
 onde  


Exemplo resolvido:

1)
Fazendo x² = y , temos  
Substituindo os valores na equação, temos:
y² – 5y + 4 = 0
Aplicando Bháskara:

Logo, y = 4  e y`= 1
Voltando a variável x:
Como y=x², temos:
x²=4  »      e    x²=1  »  
Então a solução será » S={-2,-1,1,2}
ou simplesmente
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Racionalização

Existem frações cujo denominador é irracional. Como:

  ,    ,  

Para facilitar os cálculos, é conveniente transformá-las em uma outra, equivalente, de denominador racional.
1º Caso:
- O denominador é da forma . Neste caso, basta multiplicar o numerador e o denominador por .
Ex:
     
2º caso:
- O denominador é da forma onde n>2. Neste caso, devemos multiplicar o numerador e o denominador por um fator, de modo a tornar no denominador, o expoente do radicando igual ao índice do radical.
Ex:   » Fator racionalizante=
      Logo:

3º Caso:

- O denominador possui uma destas formas:
 ,  ou  
Neste caso, basta multiplicar o numerador e o denominador pelo *conjugado de denominador. Assim, obteremos o produto pela diferença, que resulta na diferença de dois quadrados.
*Conjugado:
 
Expressão
Conjugado

Exs:

1)

2)

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Logarítmos

Antes de iniciarmos o estudo de logaritmos, é importante revermos alguns pequenos conceitos de exponeciais.
Sendo:  , dizemos que c é o expoente, b é a base e a é a potência.
Dependendo dos valores de a e b:
- poderá não haver valores de c que satisfaçam a igualdade
Exemplo:
- poderá haver um único valor de c que satisfaça a igualdade
Exemplo: (No caso, o único valor de c = 0)
- poderá haver infinitos números que satisfaça a igualdade
Exemplo:
Deduzimos assim que sendo b>0, e a>0, existe um único valor real c que satisfaça


 A partir disso, podemos definir o que é logaritmo, bem como iniciar o estudo de suas propriedades.
se, e somente se,
Onde b>0, e a>0
Não decore a definição de logaritmo, procure compreender. Para tanto, vamos ver alguns exemplos baseados em simples exercícios.
Ex.1) Transforme as seguintes potências em logaritmos e vice-versa.
a)
Resolução:
Notem que 3>0, e 9>0
b) 2³ = 8
Resolução:
c)
Resolução:
Notem que 10>0, e 100>0
Estejam sempre atendos a tais propriedades. Caso seja vestibulando, o exame tentará te “pegar” neste ponto, pois é comum os estudantes se esquecerem disso.
Muitos devem estar pensando… Mas que inutilidade? Afinal, para que servem os logaritmos?
O logaritmo foi desenvolvido para agilizar as contas de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Ele é fundamental, também, em outras matérias como por exemplo na Química para o cálculo do pH (potencial de hidrogênio). A análise, permite-nos saber se uma solução é ácida, básica ou neutra. Na física, utilizamos logaritmos em acústica para determinarmos a intensidade (decibel) de um som. Não entraremos nestes detalhes.
Uma curiosidade da Química:
Em uma solução de 1 litro, encontramos 0,01 mol de íons hidrogênio. Esta solução é ácida, básica ou neutra?
A concentração de íons hidrogênio é de 0,01 mol/l, ou seja, [H] =
Assim, concluímos que . Trata-se, portanto, de uma solução ácida, pois o pH<7.
Inseri este exemplo, só para terem uma noção de que as ciências são intimamentes ligadas. Conhecimentos de matemática são utilizados constantemente na física, na química, na biologia e em demais matérias.

Propriedades fundamentais de logaritmos:

1)
2)
3)
4)

Exemplos:
1)
2)
3)  
4)
Propriedades de logaritmos II
Para x>0, y>0, b>0 e , temos:

1)
2)
3)

Exemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Propriedade – Mudança de base
Sendo x>0, b>0, , c >0 e

Exemplos:
1)
2) Dado que , determine
Resolução:

Observação: Os logaritmos de base 10 são chamados de logaritmos decimais. Quando a base do logaritmo não é indicada, trata-se de um logaritmo decimal.

Para finalizarmos, vamos ver alguns exercícios resolvidos e uma questão da Universidade Estadual de Londrina – UEL, presente no nosso simulado.
Exercícios resolvidos:
Ex.R.1) Dados log2=0,3 e log3=0,4, calcule:
a) log6
Resolução:
b) log9
Resolução:
c) log5
Resolução:
d)
Resolução:

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Produto Notáveis

Antes de iniciarmos o estudo de produtos notáveis, vamos recordar a propriedade distributiva.
(a+b).(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b²
(a-b).(a-b) = a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b²
(a+b+c).(a+b+c)=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c²
 
Somando os termos semelhantes: a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
    
Notem que na propriedade distributiva: multiplicamos todos os termos (não se esquecendo das regras dos sinais) e somamos os termos semelhantes.
Afim de economizar tempo e não ter de multiplicar termo a termo, utilizamos os produtos notáveis.
Produtos Notáveis são aqueles produtos que são freqüentemente usados e para evitar a multiplicação de termo a termo, existem algumas fórmulas que convém serem memorizadas.
1) Soma pela diferença: quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.
        ( a + b ).( a – b ) = a² – b²
2) Quadrado da soma: quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
        ( a + b )² = a² + 2ab +b²
3) Quadrado da diferença: quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
       
( a – b )² = a² – 2ab + b²
Existem muitas outras outras fórmulas:
   
( a + b ) ³ =  a³ + 3 a ²b + 3ab² + b³
(a – b )³ =  a³ – 3 a²b + 3ab² – b³

Não freqüentemente usadas:
 
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Enfermagem e a matemática

Introdução
Este artigo é resultado de trabalho final da disciplina Estágio II – Prática de Ensino de Matemática e relata a descrição das etapas de desenvolvimento da prática docente sustentada na utilização das aplicações matemáticas.
Para o embasamento teórico serão apresentadas as vertentes da farmacologia, como a farmacocinética, que estuda a forma, a dosagem, a ação e via de administração do medicamento.
Como aplicação do estudo do conteúdo aqui trabalhado foi elaborada resolução de problemas pelos alunos, utilizando os conceitos introdutórios de enfermagem e o pensamento lógico e intuitivo trazido pela matemática.
O objetivo do trabalho foi mostrar aos alunos que a matemática não deve ser tratada como disciplina isolada, mas interligada com as teorias e práticas existentes na formação do técnico de enfermagem. A resolução de problemas, atividade realizada em grupo, teve como objetivo buscar a estimulação e sentimento de desafio para facilitar o processo de aprendizagem. Nesta relação interdisciplinar está implícito o objetivo de trabalhar, com maior profundidade, a interpretação textual, ou seja, os enunciados dos problemas, a leitura dos números e símbolos matemáticos, o uso das teorias de enfermagem como base para o raciocínio lógico e matemático. Enfim, o principal intuito do trabalho foi mostrar que a matemática pode ser utilizada como meio ou ferramenta no cotidiano de diversas profissões.
O ensino
de matemática se torna bem mais interessante para o aluno com o uso das aplicações que são umas das principais razões da sua difusão. A aplicação aqui considerada consiste em levar determinados conceitos e teorias matemáticas a situações relacionadas ao mundo do trabalho do aluno. Ela surge principalmente da necessidade do ser humano de inovar e criar novas tecnologias e está aliada a matemática prática.

Uma das formas de apresentação das aplicações é por meio da resolução de problemas. Além disso, foi discutida também a elaboração de problemas como metodologia de trabalho. A elaboração se justifica pelo trabalho investigativo que possui. Por uma situação criada pelo professor e que sirva como ponto de partida para o aluno ou uma situação que o próprio aluno sugira, este pode colocar os seus objetivos e o melhor caminho para resolvê-la. Já na resolução o aluno tem a oportunidade de buscar o seu próprio método de solução.

A elaboração e resolução dos problemas aqui propostos são importantes no processo ensino-aprendizagem, pois desenvolvem a criatividade, estimulam a imaginação e recompensam o esforço de aprender no momento da descoberta do caminho e objetivo a seguir.
Todas as teorias que sustentam o desenvolvimento das aplicações aqui apresentadas vêm acompanhadas da constante sensibilidade do professor para com o aprendizado dos alunos. A necessidade de buscar meios para a sucesso da aprendizagem não é justificativa somente para a elaboração deste trabalho, mas para toda a história do ensino da matemática. A própria história mostra a presença da matemática aplicada e matemática prática em contraponto com a matemática teórica e conteudista. Não querendo se sobrepor a esta, mas sempre mostrando que a aprendizado pelas aplicações possui objetivo, é prazeroso, necessário, e por isso tem mais chance de possuir significado.

As aplicações
O primeiro passo para consecução da atividade foi idealizar qual o material concreto que faria a “ponte” com os problemas a serem criados pelos alunos. Existia a extrema necessidade de conectar os conceitos de razão, proporção, frações e porcentagem com a prática na enfermagem. O primeiro material pensado foi o prontuário médico, mas este era de acesso apenas das clínicas médicas, nas quais os técnicos de enfermagem terão acesso nos últimos semestres do curso. Então, pensou-se nos medicamentos, especificamente nas caixas e bulas. Foram escolhidas também algumas embalagens de solução fisiológica e ampolas de medicamentos que foram levadas pelo professor. Posteriormente, o professor verificou quais poderiam ser os problemas elaborados pelos alunos e quais seriam as dificuldades encontradas na elaboração e resolução dos mesmos. O objetivo da atividade foi restringido na construção e aplicação da regra de três, na leitura e uso das porcentagens e frações, na interpretação e uso indireto do conceito de razão e proporção. Alguns problemas já tinham sido dados como exemplo nas aulas onde os conceitos matemáticos foram ministrados, mas não envolviam cálculos de medicação.
Seguindo o planejamento da atividade, foram pedidas com antecedência, caixas de medicamento na forma de solução (xarope), comprimido e ampolas. As embalagens e bulas que os alunos trouxessem iam ser aproveitadas dentro das possibilidades que elas ofereciam.
 
Na realização da atividade, o primeiro passo foi verificar se os alunos haviam trazido realmente o material solicitado e se era suficiente para trabalhar os objetivos a serem alcançados. Como nem todos haviam trazido a turma foi dividida em grupos.Com esta divisão pretendeu-se também que atividade  tivesse um caráter cooperativo e que os alunos se ajudassem na busca de soluções para as dificuldades encontradas. Após a formação dos grupos foi pedido aos alunos que separassem as bulas das embalagens e observassem o que as compunham. O professor direcionou então a leitura dos componentes das embalagens e a interpretações dos itens nela discriminados. Na embalagem, por exemplo, do medicamento de princípio ativo Nimesulida, os alunos colocaram como observação os escritos impressos em letras maiores: o nome fantasia do medicamento, o nome da substância principal e de  outros. Isto mostra a importância de cada item que compõe a embalagem. O nome fantasia se encontra em letras maiores e logo abaixo, em letras menores, está o nome do composto que forma a droga. Em negrito ou sublinhado está a quantidade, em miligramas ou de soluto por solvente, do medicamento. A quantidade total da droga em números de comprimidos ou por volume de solução também foi notada. O tipo de uso: pediátrico ou adulto, uso oral ou local, foi colocado como importante pelos alunos, pois discrimina a idade para a qual o medicamento será usado. Outros itens, como a validade e a tarja, preta ou vermelha, também foram observadas.
No caso da bula, foram centralizados no momento da observação e interpretação as formas farmacêuticas, a composição, a posologia e o modo de usar. Nestes campos, os alunos notaram a presença de grandezas e relações matemáticas. No exemplo citado anteriormente, mencionaram a quantidade, em miligramas, por parte da unidade do comprimido; a quantidade de comprimido por caixa e principalmente a dosagem diária a ser administrada.
Em seguida, foi pedido aos alunos para que idealizassem um tratamento e elaborassem uma prescrição médica que contivesse o medicamento escolhido, dentro das normas da posologia. Neste momento, foi revisado o sistema métrico de medidas e sobre a precisão das medidas. O professor orientou que a dosagem estipulada para a elaboração dos problemas estivesse de acordo com o instrumento de medida do medicamento. Por exemplo, uma solução sempre vem acompanhada de uma colher graduada ou um comprimido pode vir com um sulco dividindo-o ao meio. Dentre os problemas apresentados a seguir, alguns foram criados pelos próprios alunos, outros sugeridos pelo professor. O professor avaliou o cumprimento das atividades por meio dos alunos que conseguiram levar os conceitos matemáticos apreendidos ao cálculo de medicamentos por meio de construção e elaboração de problemas.
Cálculo para administração de medicamentos
O cálculo para administração de medicamentos deve ser feito com muito cuidado e atenção, pois a dose deve ser precisa. Alguns medicamentos precisam ser dissolvidos em água destilada de solução fisiológica 0,9%, transformando-os em solução. Uma solução pode apresentar diferentes concentrações e ser definida como isotônica, hipotônica e hipertônica, de acordo com a quantidade de soluto presente na diluição.
Problema 1: 
Foram prescritos 100 mg VO de Fosfato sódico de prednisolona suspensão de 6/6 h. Quantos mililitros devem ser administrados?
Para encontrar a dose a ser administrada deve-se observar todos as informações disponibilizadas pela embalagem ou rótulo do medicamento. Os alunos buscaram então alguma relação matemática que ajudasse na resolução do problema. Verificaram a quantidade de soluto e a quantidade de solvente. No caso do medicamento descrito temos:
Em seguida, os alunos verificaram quais grandezas que poderíamos estabelecer relações, de acordo com o solicitado no problema, e se encontravam na mesma unidade de medida. Num segundo momento, os alunos passaram a identificar qual a relação existente, ou seja, as grandezas eram diretamente ou inversamente proporcionais, para depois montar a estrutura da Regra de Três. Assim encontraram:
as grandezas são diretamente proporcionais
Estando pronta a estrutura aplicaram a Regra Fundamental das Proporções, isto é, “o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”.
A quantidade a ser administrada da suspensão de Fosfato sódico de prednisolona será 33 ml. Como o frasco da solução vem acompanhado de uma colher graduada em ml, fica fácil medir a quantidade encontrada.
Problema 2: O médico prescreveu 25 mg de Nimesulida de 12 em 12 horas, para uma criança.
A primeira sugestão dos alunos para solucionar o problema foi na mudança da forma do medicamento. Já que seria administrado a uma criança, seria bom que fosse por meio de uma solução. O professor sugeriu então que fosse diluído em 10 ml de água destilada. De acordo com as informações da embalagem tem-se 100 mg do composto em cada comprimido. Assim os alunos sugeriram dividi-lo ao meio, encontrando 50 mg, e então diluí-la em 10 ml de água destilada para retirar 25 mg em solução.
Os alunos estabeleceram mentalmente a relação entre as grandezas, centralizando mais na forma de administrar medicamento para uma criança. Encontraram então uma dose de 5,0 ml da diluição preparada com o medicamento proposto.
Cálculos com diferentes porcentagens
Estes problemas consistiam em cálculos de porcentagens que expressam a quantidade de soluto por solvente de uma solução. O professor apresentou diferentes situações aos grupos e em seguida fez com que compartilhassem as formas de raciocínio para resolução dos problemas. A maioria dos grupos utilizou a Regra de Três para solucioná-los.
Problema 1: Quantos gramas de glicose tem na solução de Soro Glicosado 5%, em frascos de 1000 mililitros?
Num primeiro momento os alunos logo resolveram a porcentagem e mostraram que 5% equivalem a 5 gramas de glicose em 100 mililitros. A partir daí encontraram a relação que
Portanto, verificaram que em 1 frasco de Soro Glicosado de 1000 mililitros contém 50 gramas de glicose.
Problema 2: O hospital tem disponível ampolas de Vitamina C a 10%, com 5 mililitros. Quantos miligramas de Vitamina C têm na ampola?
Os alunos aplicaram diretamente a Regra de três, ficando implícita a leitura da porcentagem.
Imediatamente observaram que o problema pedia a quantidade em miligramas e que a resposta encontrada se encontrava em gramas. Fizeram a transformação multiplicando o resultado por 1000, pois 1 grama equivale a 1000 miligramas. O resultado obtido foi então 500 mg de Vitamina C.
Transformação do Soro
            Os problemas que envolvem transformação do soro foram exemplificados e não trabalhados elaborados pelos alunos ou sugeridos pelo professor. A idéia de primeiro exemplificá-los surgiu devido a dificuldade de interpretação dos alunos em problemas apresentados pelas obras que falam sobre cálculo em enfermagem.
Exemplo: Foram prescritos 1000 mililitros de Soro Glicosado a 10%. Na clínica dispomos somente de 1000 mililitros de Soro Glicosado a 5% e ampolas de glicose de 20 mililitros a 20%. Como se deve proceder para resolver este problema?
A melhor forma de resolver este problema e ver o material disponível, isto é:
 
 
Portanto, já temos 50 gramas de glicose, teremos que acrescentar mais 50 gramas. Com vimos no cálculo anterior, teremos que utilizar as ampolas de glicose a 50% e também já sabemos que 1 ampola de glicose a 5% (20 ml) tem 10 gramas de glicose.

É claro que 100 mililitros de solução de glicose a 50% (5 ampolas) não cabem no frasco de Soro Glicosado 5 %. Então teríamos que desprezar 100 mililitros de Soro glicosado a 5%. Se desprezarmos 100 mililitros estaremos jogando junto 5 gramas de açúcar (5 g – 100 ml) e teremos que repor os 5 gramas (corresponde a meia ampola de glicose a 50%). Portanto, desprezaríamos 100 mililitros do Soro Glicosado e acrescentaríamos 5 ampolas e meia de glicose a 50% (110 ml) e estaria pronto para uso a Solução Glicosada  a 10% – 100 ml.
Considerações Finais
O desenvolvimento das aplicações deste trabalho trouxe alguns resultados que serão ressaltados pelos principais sujeitos da sala de aula: o professor e o aluno. O papel destes sujeitos foi avaliado em três momentos: antes, durante e depois da realização da atividade.
No momento anterior à atividade e do ponto de vista do professor concluímos que os campos que compõem o planejamento da atividade foram pensados dentro da realidade dos alunos. Do tratamento didático, ou seja, da escolha da metodologia – resolução de problemas, procurou-se buscar algo que encaixasse no dia-a-dia do professor e que fosse de fácil controle e domínio no momento da aplicação. Desta busca resultou a resolução de problemas que se encaixou perfeitamente nos momentos de planejar e de pensar a atividade. Do tratamento do conhecimento anterior à aplicação, o professor foi bem sucedido na escolha dos conceitos matemáticos mais necessários para a aplicação da atividade. Na pesquisa e aperfeiçoamento do seu conhecimento conseguiu atualizar os conceitos, principalmente de razão e proporção, conhecer as diferentes teorias aprendizagem deste conteúdo e escolher a que mais se adaptava a sua atividade. Levou em consideração as idéias de Geraldo Ávila sobre o ensino de razão, proporção e regra de três e verificando que este conteúdo não precisa ser segmentado, mas sim aliado a outras áreas do conhecimento. Do entendimento destas idéias, concluiu-se que o presente conteúdo poderia ser ensinado por meio da aplicação e que poderia também derivar do pensamento intuitivo dos alunos e da vontade de solucionar os problemas. Da escolha dos recursos didáticos, pensou em algum material concreto. Primeiro, veio a idéia de utilizar o prontuário médico, mas a idéia  não foi bem sucedida, pois, o prontuário estava fora do alcance dos alunos daquele nível. O segundo material pensado foi o escolhido para a presente aplicação e foi o melhor se adaptou, pois é um material que todos possuem em casa, manuseado no dia-a-dia dos alunos e de fácil leitura e interpretação.A escolha da forma de avaliação foi ideal, pois os alunos foram avaliados durante a consecução e os registros da atividade.
Do ponto de vista dos alunos, preparou-se uma introdução aos conceitos envolvidos na aplicação. Do trabalho com frações, conseguiram mostrar as relações entre frações equivalentes, decimais e as operações de multiplicação e divisão de frações. Na prática de alguns exercícios, os alunos manifestaram dificuldade em entender as frações equivalentes e precisou-se utilizar o material concreto para mostrar que as partes fracionadas são equivalentes. Mas o uso do material foi positivo, pois gerou mais dúvidas e participação da turma.
Durante a atividade,  concluímos que o ato de planejar é fundamental para a prática educativa. A principal dificuldade encontrada nas etapas descritas foi na elaboração dos problemas. O professor introduziu a atividade falando do prontuário médico, o que ajudou bastante na idealização dos problemas. Mas às vezes se sentiu angustiado e  sem saber solucionar a dúvida dos alunos em relação a forma de como formular os problemas. Um pouco de tempo foi destinado para que a idéia fosse transmitida. Os exemplos de problemas com frações foram um dos instrumentos usados para mostrar o objetivo da atividade. Conciliar o atendimento dos alunos também foi outra dificuldade encontrada e sanada dentro do possível. Durante a resolução e dúvidas que surgiam, o professor foi introduzindo o conteúdo, mas de forma não rotulada; como se surgisse também da sua intuição, mostrando que a matemática poderia vir de dentro e não só de conceitos pré-definidos.
As dificuldades encontradas pelos alunos vão desde a elaboração à resolução dos problemas. Na elaboração demoraram a idealizar a situação que sustentaria o problema. O professor sempre ajudava questionando o que poderia ser usado na bula ou embalagem do medicamento para a idealização da prescrição. Isto tornou o processo de elaboração um pouco mais fácil. Acrescentou também, que os problemas poderiam ser criados a partir das dúvidas na leitura dos componentes da embalagem ou da bula do medicamento, como foi mostrado no item “Cálculo de Porcentagens”, o que facilitou ainda mais na elaboração. Aos resolvê-los, a principal dificuldade foi a falta de conceitos matemáticos que deveriam ter sido aprendidos em séries anteriores. Os alunos não possuíam o raciocínio lógico bem trabalhado e isto resultou na freqüente exemplificação de resoluções. Apesar das dificuldades, os alunos se colocaram dispostos a solucionar os problemas e alguns compartilharam suas dificuldades com outros colegas. É evidente que houve grupos mais retraídos e que não queriam mostrar a forma como resolviam, mas não representava a maioria. As diferentes resoluções foram apresentadas a turma e analisadas juntamente com professor. Este buscou as que mais se aproximavam às formas universais de resolução para sistematizar os conceitos de razão e proporção. Grande parte dos problemas foi resolvida por regra de três, mas não foram registrados na forma expressa nos livros didáticos. Os demais cálculos necessários à formação do técnico de enfermagem foram trabalhados em aulas expositivas e sempre participativas, ajudando na exemplificação dos cálculos. Após a atividade, o professor avaliou os registros dos alunos tentando encontrar as dúvidas implícitas. Observou a necessidade de retornar aos conceitos matemáticos, uma vez que as relações de razão e proporção deveriam ficar bem claras para o aluno. Atividades extra-classe também poderiam ser utilizadas como forma de exercitar o raciocínio lógico e as operações utilizadas na resolução. Concluiu que as aplicações devem ser utilizadas com muito cuidado e no momento certo; o momento em que o aluno tenha maior clareza dos conceitos. Isto faz com que a resolução de problemas seja mais fácil e prazerosa, mostrando que o objetivo pode ser encontrado por diversos caminhos.
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Porcentagem

Introdução:

Utilizamos o cálculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano. Dois simples exemplos:
Ex.1) Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria custa R$120,00, quanto a mercadoria passará a custar?
O desconto será de 10% do valor de R$120,00. Logo:

Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 – 12 = 108
Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00.
 

Ex.2) Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas. Qual a quantidade de meninas e de meninos?

A quantidade de meninas será:
E a de meninos será: 100 – 40 = 60.
Sugestão: Caso tenham dúvidas em multiplicação de frações, visitem a seção Frações, presente neste site, antes de iniciar o estudo de porcentagem.
 Razão centesimal:Como o próprio nome já diz, é a fração cujo denominador é igual a 100.
Exemplos:
(lê-se 10 por
cento)
(lê-se 150 por cento)

Definição de taxa porcentual ou porcentagem:

Chama-se taxa porcentual ou porcentagem de um número a sobre um número b, , à razão tal que
Indica-se por

Definição meio complicada não acham? Pois é muito simples:
Porcentagem é o valor obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um determinado valor. Porcentagem, como o nome já diz, é por 100 (sobre 100).
Exemplos para compreendermos melhor:

Ex.1) Calcule:

a) 10% de 500:

A razão centesimal é :  

Portanto,

b) 25% de 200:

Portanto,

Ex.2) Qual a taxa porcentual de:
a) 3 sobre 5?

5x = 300
x= 60

A taxa é de 60%
b) 10 sobre 20?

20x = 1000
x = 50

A taxa é de 50%

Certa vez, perguntaram-me algo tão simples, mas que ,talvez, tenham dúvidas: Como se calcula porcentagem em uma calculadora?
Vamos a um exemplo: Quanto é 20% de 500?
Digitem: 500
Aperte a tecla de multiplicação: X
Digitem: 20
Aperte a tecla de porcentagem: %

O resultado, como pode ser visto, é 100.

Agora que compreendemos a definição de porcentagem, vamos a resolução de alguns exercícios elementares.
Exercícios resolvidos:
1) Uma compra foi efetuada no valor de R$1500,00. Obteu-se um desconto de 20%. Qual foi o valor pago?
O desconto será:
Portanto, pagou-se: 1500 – 300 = 1200.
Dica: Para agilizarmos o cálculo, vamos pensar um pouco:
O valor total da compra é 100%. Se obtivermos um desconto de 20%, isso quer dizer que pagaremos somente 80% do valor (100% – 20% = 80%)
Logo,

2) Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 10% sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar?
O acréscimo será de:
Portanto, passará a custar: 12.000 + 1.200 = 13.200
Dica: O valor inicial do carro era de 100%, se ele sofreu uma valorização de 10%, isso quer dizer que ele passará a custar 110% (100 + 10 = 110) do seu valor inicial. Logo:

3) Um computador que custava R$2.000,00, apresentou um lucro de R$100,00. De quanto porcento foi o lucro sobre o preço de venda?

2000x = 10000
x = 5

Portanto, 5%.
4) Um comerciante que não possuia conhecimentos de matemática, comprou uma mercadoria por R$200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um freguês pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo preço, pensando que, assim, teria um lucro de 10%. O comerciante teve lucro ou prejuízo? Qual foi esse valor?
Vamos por etapas:
O comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e acresceu 50% sobre esse valor.

Logo, a mercadoria passou a custar R$300,00.
Como deu um desconto de 40% sobre o preço de venda:

Portanto, como o comerciante comprou a mercadoria por R$200,00 e a vendeu por R$180,00, obteve um prejuízo de R$20,00.

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Número Bom

Um numero é chamado BOM quando 5n + 1 é múltiplo de 6.
a).Quantos numeros bons há entre 15 e 50?
b).Como seria a fórmula para encontrar todos os numeros BONS?


Resposta:

Melhor começar pelo ítem 2 e depois usá-lo:
P=5n+1
Se P é um múltiplo de 6.
Note que para que n∈N => (P-1) seja múltiplo de 5 e, portanto, P deve ser um múltiplo de 6 terminado em 1 ou 6.
Mas não há múltiplo de 6 terminado em 1 e os múltiplos de 6 terminados em 6 são da forma 6k com k∈N
se escrevermos 5n+1=6k, para cada valor de k obteremos um valor de n, tal que n é um número bom.

k=1 —> n=1
k=2 —> n=7
k=3 —> n=43
k=4 —> n=259

só há um único número bom entre 15 e 50 que é 43.

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